Информационно вычислительные сети. Курсовая работа: Информационно-вычислительная сеть. Построение сетевой инфраструктуры
Говорят, что они являются независимыми (и) одинаково распределёнными , если каждая из них имеет такое же распределение , что и другие, и все величины являются независимыми в совокупности. Фраза «независимые одинаково распределённые» часто сокращается аббревиатурой i.i.d. (от англ. independent and identically-distributed ), иногда - «н.о.р».
Применения
Предположение о том, что случайные величины являются независимыми и одинаково распределёнными широко используется в теории вероятностей и статистике, так как позволяет сильно упростить теоретические выкладки и доказывать интересные результаты.
Одна из ключевых теорем теории вероятностей - центральная предельная теорема - утверждает, что если - последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, то, при стремлении к бесконечности, распределение их среднего - случайной величины сходится к нормальному распределению .
В статистике обычно предполагается, что статистическая выборка является последовательностью i.i.d. реализаций некоторой случайной величины (такая выборка называется простой ).
Wikimedia Foundation . 2010 .
- I. e.
- Intel 8048
Смотреть что такое "Независимые одинаково распределённые случайные величины" в других словарях:
Задача о разорении игрока - Задача о разорении игрока задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность» … Википедия
Устойчивое распределение - в теории вероятностей это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
Формула Леви - Хинчина для устойчивого распределения - Устойчивое распределение в теории вероятностей это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства устойчивых распределений … Википедия
Бесконечно делимое распределение - в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых. Содержание 1 Определение … Википедия
Модель Крамера-Лундберга - Модель Крамера Лундберга математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью с условных денежных единиц за единицу… … Википедия
Формула Леви - Хинчина для бесконечно делимого распределения - Бесконечно делимое распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых. Содержание 1 Определение 2… … Википедия
Модель Крамера - Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Модель Крамера Лундберга математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании … Википедия
Приёмочный статистический контроль - совокупность статистических методов контроля массовой продукции с целью выявления её соответствия заданным требованиям. П. с. к. действенное средство обеспечения доброкачественности массовой продукции. П. с. к. проводится на… … Большая советская энциклопедия
Мультиномиальное распределение - Мультиномиальное (полиномиальное) распределение в теории вероятностей это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами. Определение Пусть независимые… … Википедия
Полиномиальное распределение - Мультиномиальное (полиномиальное) распределение в теории вероятностей это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами. Определение Пусть независимые одинаково… … Википедия
Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин".
Доказательство. Обозначим через X сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:
Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых (см. § 5, следствие 1), поэтому
или окончательно
Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.
Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин X v X v ..., X fi , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе.
Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через X :
Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.
1. Математическое ожидание среднего арифметического одина ково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем
Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а , получим
2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D каждой из величин :
Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем
§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины 97
Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна Д получим
3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных
величин в 4п раз меньше среднего квадратического отклонения а каждой из величин:
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как D(X ) = D/n, то среднее квадратическое отклонение X равно
Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет
значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.
Поясним на примере значение этого вывода для практики.
Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать:
- а) среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения;
- б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.
Решение, а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины. Результат каждого измерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т.п.), которые нс могут быть заранее полностью учтены.
Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты п отдельных измерений в качестве случайных величин X v Х 2 , ..., Х п (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся но одной и той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений).
Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения. Это и означает, что среднее арифметическое нескольких измерений дает более падежный результат, чем отдельное измерение.
б) Нам уже известно, что при возрастании числа отдельных случайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Таким образом, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.
Например, если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения а = 6 м, а всего произведено п = 36 измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м. Действительно,
Мы видим, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.
«Наша цель - доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной дисперсией, то зная только среднее и...»
Наша цель --- доказать, что если взять одинаково распределённые независимые случайные величины с конечной
дисперсией, то зная только среднее и дисперсию можно довольно точно оценивать вероятность принятия средним
из этих величин значений в заданном интервале.
Сначала определим распределение вероятностей на множестве исходов R так, чтобы разрешить себе более, чем
счётное, количество событий.
Рассмотрим распределение вероятностей, у которого исходы --- числа. Что мы тогда можем заметить про вероятности (не выделяя особо элементарные события)?
Перечислим базовые свойства вероятности, которые верны для нашего определения, и которые надо сохранить.
Определение 1. Вероятность любого события неотрицательна. Вероятность достоверного события равна 1. Если событие является объединением не более, чем счётного числа непересекающихся событий, вероятности которых известны, то его вероятность определена и равна сумме их вероятностей.
Мы можем полностью задать это распределение неубывающей функцией F (a) : F (a) = P ({x | x a}).
Теорема 1. При этом будет выполнено P ({x | x a}) = lim F (b).
ba+ Доказательство 1. Действительно, R \ {x | x a} = {x | x a} = {x | x a + 1} }
